11

z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10 - 1; 

z0 + z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 + z7 + z8 + z9 + z10;

z0*z1 + z1*z2 + z2*z3 + z3*z4 + z4*z5 + z5*z6 + z6*z7 
+ z7*z8 + z8*z9 + z9*z10 + z10*z0;

z0*z1*z2 + z1*z2*z3 + z2*z3*z4 + z3*z4*z5 + z4*z5*z6 + z5*z6*z7
 + z6*z7*z8 + z7*z8*z9 + z8*z9*z10 + z9*z10*z0 + z10*z0*z1;

z0*z1*z2*z3 + z1*z2*z3*z4 + z2*z3*z4*z5 + z3*z4*z5*z6 + z4*z5*z6*z7
 + z5*z6*z7*z8 + z6*z7*z8*z9 + z7*z8*z9*z10 + z8*z9*z10*z0 + z9*z10*z0*z1
 + z10*z0*z1*z2;

z0*z1*z2*z3*z4 + z1*z2*z3*z4*z5 + z2*z3*z4*z5*z6 + z3*z4*z5*z6*z7
 + z4*z5*z6*z7*z8 + z5*z6*z7*z8*z9 + z6*z7*z8*z9*z10 + z7*z8*z9*z10*z0
 + z8*z9*z10*z0*z1 + z9*z10*z0*z1*z2 + z10*z0*z1*z2*z3;

z0*z1*z2*z3*z4*z5 + z1*z2*z3*z4*z5*z6 + z2*z3*z4*z5*z6*z7
 + z3*z4*z5*z6*z7*z8 + z4*z5*z6*z7*z8*z9 + z5*z6*z7*z8*z9*z10
 + z6*z7*z8*z9*z10*z0 + z7*z8*z9*z10*z0*z1 + z8*z9*z10*z0*z1*z2
 + z9*z10*z0*z1*z2*z3 + z10*z0*z1*z2*z3*z4;

z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6 + z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7 + z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8
 + z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9 + z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10 + z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0
 + z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1 + z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2 + z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3
 + z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4 + z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5;

z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7 + z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8 + z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9
 + z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10 + z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0
 + z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1 + z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2
 + z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3 + z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4
 + z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5 + z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6;

z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8 + z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9
 + z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10 + z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0
 + z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1 + z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2
 + z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3 + z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4
 + z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5 + z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6
 + z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7;

z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9 + z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10
 + z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0 + z3*z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1
 + z4*z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2 + z5*z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3
 + z6*z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4 + z7*z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5
 + z8*z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6 + z9*z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7
 + z10*z0*z1*z2*z3*z4*z5*z6*z7*z8;

TITLE : the cyclic 11-roots problem

ROOT COUNTS :

Total Degree : 39,916,800 (= 11!)
Mixed Volume : 184,756

REFERENCES :

Uffe Haagerup: "Orthogonal MASA's in the nxn-matrices, complex Hadamard
matrices and cyclic n-roots".
Talk at the conference on "Operator Algebras and Quantum Field Theory",
Rome, July 1-6, 1996.
Therein the (unpublished) result of G. Bj"orck is mentioned that
Bj"orck found 184756 distinct isolated 11-roots.

DESCRIPTION :

One obvious symmetry group of 22 elements is generated by 
  z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z0 (read forward)
and
  z10 z9 z8 z7 z6 z5 z4 z3 z2 z1 z0 (read backward).
There are 8398 generating solutions, since 8398*22 = 184756.

TIMING :

I used the fabulous program of T.Y. Li (http://www.math.msu.edu/~li)
and Xing Li (http://www.math.msu.edu/~xing) to compute the mixed volume.
That only took about 7 minutes on a 800 Mhz Pentium III Linux machine.
On the same machine I then ran PHC to do the polyhedral continuation
and the final continuation to the target system.


Click here to see the generating solutions.